Trong tài liệu [1], tác giả Thierry P. Berger và các cộng sự đưa ra phương pháp xây dựng các mã MDS bằng cách mở rộng các mã Gabidulin. Phương pháp này sử dụng các mã tối ưu trên một trường cơ sở bên dưới.
Khoảng cách hạng được giới thiệu bởi E. Gabidulin vào năm 1985, chi tiết về độ đo này được trình bày trong [2].
Cho K = GF(qm) là một mở rộng bậc m của trường hữu hạn GF (q), q = pr không cần là nguyên tố, trường GF(q) được xét như “trường cơ sở” trong phương pháp này. Cho E = Kn là không gian vectơ n chiều trên K.
Tương đương, trọng số hạng của a là hạng của ma trận m x n trên GF(q) được tạo bằng cách mở rộng mọi tọa độ ai trên cơ sở của K/ GF (q). Giá trị của trọng số hạng là độc lập với cơ sở được chọn.
nó cũng có hạng là 2.
Tồn tại một giới hạn đối với khoảng cách hạng tối thiểu của một mã, tương tự như giới hạn Singleton đối với khoảng cách Hamming:
Mệnh đề 1 ([2]): Nếu C là một mã tuyến tính độ dài n, số chiều k và khoảng cách hạng dr, thì:
Tập các đa thức được tuyến tính hóa là đẳng cấu với tập các ứng dụng tuyến tính - GF(q) của K vào chính nó [3].
Các tác giả đưa ra chứng minh ngắn gọn của định lý sau ([84]):
Chứng minh:
Độ dài của các mã Gabidulin tương đối ngắn (độ dài của mã nhiều nhất bằng m) so với qm Mục tiêu của các tác giả trong [1] là mở rộng các mã Gabidulin bằng cách thêm vào điểm ước lượng của đa thức tuyến tính hóa.
Chứng minh:
Khoảng cách hạng là cực đại nếu a là một hệ sinh của K, nghĩa là rk(a) = m. Tuy nhiên khoảng cách hạng của các mã như vậy bị chặn trên bởi m - k + 1.
Hệ quả 1 ([1]). Khoảng cách Hamming dh của mã Cak lớn hơn hoặc bằng rk(a) - k +1.
Tuy nhiên, có thể xây dựng một mã Cak với khoảng cách Hamming tốt.
Các tác giả tiếp tục đưa ra mệnh đề sau:
Mệnh đề 3 ([1]). Khoảng cách Hamming tối thiểu của mã Ca,k là dh = n - s, trong đó s là số lượng cực đại của các phần tử của a được chứa trong cùng không gian vectơ V với số chiều k-1.
Chứng minh:
Định lý sau đây khẳng định đặc trưng của các mã Cak để là MDS.
Định lý 2 ([1]). Một mã Cak là MDS nếu và chỉ nếu tập bất kỳ gồm k phần tử của a là độc lập tuyến tính.
Chứng minh:
Nếu tập bất kỳ gồm k phần tử của a là độc lập tuyến tính thì số lượng cực đại của các phần tử của a được chứa trong một không gian vectơ k-1 chiều bằng s=k-1. Khi đó, khoảng cách tối thiểu của một mã như thế sẽ bằng dh=n-(k-1) = n-k+1. Do vậy, đây là một mã MDS.
Ngược lại, nếu Cak là mã MDS thì dh =n-(k-1). Có nghĩa là s=k-1 , hay không gian vectơ k-1 chiều bất kỳ V chứa nhiều nhất k-1 phần tử của a. Điều này tương đương với khẳng định “tập bất kỳ k phần tử của a là độc lập tuyến tính”.
Cố định q=2 và m=2r. Chọn cơ sở B={b1,b2,...bm} của K trên F=GF(2) và n=m. Khi đó mã Gabidulin GB,r là mã MRD và có các tham số [m=2r,r,r+1] (GB,r cũng là mã MDS) trên K (r là độ dài tin k).
Nếu A là ma trận vuông cỡ r trên K sao cho [Ir,A] là ma trận sinh chuẩn của GB,r thì A là ma trận MDS trên K. Ma trận này cho độ khuếch tán cực đại trên r khối có cỡ m=2r nhưng lại có thêm tính chất MRD.
Ví dụ 2. Chọn m=8, r=4. Giả sử
là nghiệm của đa thức nguyên thủy x8+x4+x3+x2+1. Đặt B={1,a, a2,…, a7} là cơ sở của K trên F. Ma trận MDS A được xác định từ mã Gabidulin GB,4 là:Ma trận A này có cùng các tham số như MixColumns, r=4 là cỡ cực đại của ma trận MDS có tính chất MRD trên GF(28).
Giả sử n>m và n=2k, khi đó mã MRD không nhất thiết là MDS (nói chung không là MDS). Trước đây, người ta đã thiết lập mã MDS có độ dài n>m bằng cách mở rộng các điểm ước lượng của đa thức tuyến tính hóa. Tuy nhiên, các mã này không còn là MRD nữa, các tham số của chúng bị hạn chế nên không thể vượt qua tỷ lệ ½ (tức là mã tuyến tính có n=2k). Những mã Gabidulin mở rộng này dường như không thích hợp để xây dựng các tầng khuếch tán MDS và không có tính chất bổ sung so với mã Reed-Solomon.
Sau đây, tác giả bài báo đưa ra bảng so sánh hai phương pháp xây dựng các ma trận MDS từ các mã MDS, bao gồm mã RS và mã Gabidulin.
Bảng 1. So sánh phương pháp từ mã RS và mã Gabidulin
Bài báo này giới thiệu một phương pháp xây dựng các mã MDS bằng cách mở rộng các mã Gabidulin để từ đó có thể trích rút ra được các ma trận MDS từ các mã MDS này. Phương pháp này sử dụng các mã tối ưu trên một trường cơ sở bên dưới do tác giả Thierry P. Berger và các cộng sự đã đưa ra trong tài liệu [1]. Bài báo cũng đưa ra so sánh các phương pháp xây dựng ma trận MDS từ các mã MDS như mã RS và mã Gabidulin. Việc nghiên cứu các phương pháp khác nhau trong việc xây dựng các ma trận MDS sẽ hữu ích cho các nhà nghiên cứu để tìm ra những ma trận MDS tốt nhất theo nhiều tiêu chí khác nhau nhằm xây dựng các mã khối an toàn, hiệu quả trong thực thi.
TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Thierry P. Berger, Alexei V. Ourivski, Construction of new MDS codes from Gabidulin codes, LACO, University of Limoges, France, 2013. [2] E. M. Gabidulin. Theory of codes with maximal rank distance. Problems of Information Transmission, 21:1-12, July 1985. [3] R. Lidl, H. Niederreiter. Finite fields and their applications. Cambridge University Press. [4] R. F. Babindamana and C. T. Gueye, Gabidulin Codes that are Generalized Reed Solomon Codes, International Journal of Algebra, Vol. 4, 2010, no. 3, Insert Cell After119 – 142. |
TS. Trần Thị Lượng (Học viện Kỹ thuật mật mã)
17:00 | 19/11/2020
15:00 | 24/09/2021
22:58 | 19/05/2015
10:00 | 10/04/2024
Hiện nay, số lượng các cuộc tấn công mạng nhắm đến hệ điều hành Linux đang ngày càng gia tăng cả về số lượng lẫn mức độ tinh vi, đặc biệt là các sự cố liên quan đến việc lộ lọt mật khẩu. Thông thường, khi tạo tài khoản mới trên Linux, người dùng có thể sử dụng những mật khẩu tùy ý, kể cả những mật khẩu yếu, điều này có thể gây ra nhiều rủi ro bảo mật tiềm ẩn trong hệ thống mạng, các tác nhân đe dọa sẽ dễ dàng tấn công và xâm phạm tài khoản hơn. Do đó, cần phải thực thi các chính sách sử dụng mật khẩu đủ mạnh để bảo vệ tài khoản người dùng tránh bị tấn công. Trong bài viết này sẽ gửi đến độc giả hướng dẫn thiết lập cấu hình mật khẩu an toàn trên Linux với nền tảng Centos 7.
08:00 | 09/01/2024
Nhiều người trong chúng ta thường có thói quen chỉ để ý đến việc bảo vệ an toàn máy tính và điện thoại của mình nhưng lại thường không nhận ra rằng đồng hồ thông minh (ĐHTM) cũng có nguy cơ bị tấn công mạng. Mặc dù ĐHTM giống như một phụ kiện cho các thiết bị chính nhưng chúng thường được kết nối với điện thoại, máy tính cá nhân và có khả năng tải các ứng dụng trên mạng, cài đặt tệp APK hay truy cập Internet. Điều đó có nghĩa là rủi ro mất an toàn thông tin trước các cuộc tấn công của tin tặc là điều không tránh khỏi. Vậy nên để hạn chế những nguy cơ này, bài báo sau đây sẽ hướng dẫn người dùng cách sử dụng ĐHTM an toàn nhằm tránh việc bị tin tặc lợi dụng đánh cắp thông tin.
10:00 | 15/09/2023
Thư rác hay email spam là một vấn nạn lớn hiện nay, chúng đã xuất hiện từ rất lâu cùng với sự phát triển của Internet và không chỉ gây phiền nhiễu, tốn thời gian mà còn có thể chứa một số nội dung nguy hiểm. Ước tính có tới 94% phần mềm độc hại được phân phối dưới dạng email spam, một số nguy cơ tiềm ẩn khác bao gồm phần mềm gián điệp, lừa đảo và mã độc tống tiền. Trong bài viết này sẽ thông tin đến bạn đọc cách nhận biết thư rác và ngăn chặn thư rác không mong muốn.
14:00 | 17/05/2023
Một trong những lý do khiến các tổ chức e ngại khi sử dụng các dịch vụ điện toán đám mây là vấn đề về an toàn thông tin. Tuy nhiên, dù nhìn nhận từ góc độ nào thì hầu hết chúng ta đều phải công nhận là các nhà cung cấp dịch vụ điện toán đám mây lớn như Amazon, Microsoft hay Google đều có nhiều nguồn lực và nhân sự giỏi về an ninh bảo mật hơn hầu hết các doanh nghiệp khác. Vậy tại sao chúng ta liên tục nhận được tin tức về các sự cố bảo mật của các doanh nghiệp khi sử dụng điện toán đám mây?
Cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật có ngày càng nhiều những cuộc tấn công vào phần cứng và gây ra nhiều hậu quả nghiêm trọng. Nhiều giải pháp để bảo vệ phần cứng được đưa ra, trong đó, hàm không thể sao chép vật lý PUF (Physically Unclonable Functions) đang nổi lên như là một trong số những giải pháp bảo mật phần cứng rất triển vọng mạnh mẽ. RO-PUF (Ring Oscillator Physically Unclonable Function) là một kỹ thuật thiết kế PUF nội tại điển hình trong xác thực hay định danh chính xác thiết bị. Bài báo sẽ trình bày một mô hình ứng dụng RO-PUF và chứng minh tính năng xác thực của PUF trong bảo vệ phần cứng FPGA.
10:00 | 13/05/2024
Mã độc không sử dụng tệp (fileless malware hay mã độc fileless) còn có tên gọi khác là “non-malware”, “memory-based malware”. Đây là mối đe dọa không xuất hiện ở một tệp cụ thể, mà thường nằm ở các đoạn mã được lưu trữ trên RAM, do vậy các phần mềm anti-virus hầu như không thể phát hiện được. Thay vào đó, kẻ tấn công sử dụng các kỹ thuật như tiêm lỗi vào bộ nhớ, lợi dụng các công cụ hệ thống tích hợp và sử dụng các ngôn ngữ kịch bản để thực hiện các hoạt động độc hại trực tiếp trong bộ nhớ của hệ thống. Bài báo tìm hiểu về hình thức tấn công bằng mã độc fileless và đề xuất một số giải pháp phòng chống mối đe dọa tinh vi này.
10:00 | 17/05/2024